안녕하세요! 오랜만이에요 
5모 때 글 하나 올릴까 했는데 좋은 글들이 많이 올라와서 제가 굳이 올릴 필요가 없겠더라고요! 그래서 한동안 글을 안올리고 다른 일들을 좀 했습니다.
근데 관리자님께서 4월 qcc 우수자라고 해주셔서 동기부여(?)가 좀 돼서 후다닥 칼럼 쓰러 왔습니다 ㅋㅋㅋㅋ 


그래서 오늘 설명할 내용은 양수함수, 음수함수입니다. 이게 뭐 별거는 아니고 그냥 문제 풀다보면 은근 자주 볼 수 있는 형태에요.
양수함수, 음수함수는 뭐 원래 있는 말은 아니고 그냥 지어낸 말이에요.(저도 어디서 들어본 것 같은데...? 그게 아니면 제가 지어낸 이상한 이름이겠죠)


f(x)+|f(x)|가 양수함수고, f(x)-|f(x)|가 음수함수 입니다. 
엄밀히 말해서는 0보다 크거나 같은 함수와 0보다 작거나 같은 함수인데, 말하기 편하게 하려고 양수함수, 음수함수라고 얘기한겁니다.

자세한건 아래 사진으로 한 번 봐보시죠!


우선 양수함수입니다. f가 0보다 작으면 0이고, f가 0보다 클 땐 2배를 해주면 됩니다! 
삼차함수를 예시로 들고 왔는데, x>0일 때 f가 2배가 됩니다!
어렵지 않죠? 사실 이게 별거 없는 내용인데, 미리 알고 있으면 문제 풀 때 "f(x)+|f(x)|가 이런 의미였지~" 하고 문제를 전보다 조금 더 수월하게 풀 수 있을 것입니다. 
이 형태로 함수를 관찰하는게 어디서 유용한지는 밑에 있는 기출문제에서 설명드리죠!





이번에는 음수함수입니다. f가 0보다 클 땐 0이고 f가 0보다 작을 땐 2배인데, 음수를 2배해서 여전히 2배죠. 즉, 음수 부분의 절댓값이 2배가 된 것입니다!
간단하게 예제를 만들어왔는데 -1부터 4까지 적분하라고 하면 저렇게 f가 음수인 부분만 신경쓰면 되겠죠? 특히, 이차함수와 x축으로 둘러싸인 넓이는 넓이 공식을 이용해서 쉽게 구할 수 있습니다.
이런 느낌의 문제를 n제에서 분명 한 번은 보셨을거에요!
이 내용을 깊게 안파도 문제를 풀 수 있긴한데, 원래 잘 알고 있다면 그만큼 더 빨리 풀겠죠? 그게 핵심입니다.








제가 작년에 공부할 때 풀었던 사설문제에서 |f'(x)|-f'(x)의 꼴을 이용하면 유용한 문제가 있었는데, 그 문제를 그대로 가져오기는 어려워서 조건들을 수정해서 약간 다른 문제로 다시 만들어봤습니다.
아이디어 몇개를 다른 사설 문제에서 가져온 "자작호소" 문제입니다.
먼저 풀어보고 해설 보시죠!







"도함수의 정적분은 원함수의 함숫값 차이다"를 이용해서 보기 편한 꼴로 바꿀 수 있고, 여기선 |f'(x)|-f'(x)니깐 양수함수가 되겠죠? 그리고 p가 3보다 클 때와 3보다 작을 때를 케이스 분류해주면 p의 위치가 어딘지 알 수 있겠죠. 그러면 조건 해석을 쉽게 할 수 있습니다.

이 문제를 보니 이제 양수함수, 음수함수 형태로 해석하기의 메릿이 조금 보이죠...? 막 어려운 내용은 아닌데 관점을 조금만 바꿔도 문제를 쉽게 풀 수 있는 내용이죠.






이번 문제는 아주 예전(거의 10년 전)에 평가원에 나온 미적분 기출문제입니다. 
이 문제는 f(x) 그래프를 그리고 원함수의 그래프를 그린 다음에, 함수를 관찰하면 되는 간단한 문제입니다.
우선 문제 먼저 풀어보시죠!







여기서도 마찬가지로 도함수의 넓이가 함숫값의 차이니깐 도함수 넓이를 고려해서 원함수 그래프를 그려주면 되겠습니다.
sinx-|sinx|와 |sinx|-sinx를 각각 음수함수, 양수함수로 보면 그래프 그리는게 하나도 어렵지 않을 것입니다. 
원래는 킬러 위치인 미적분 30번의 위상에 비해서는 쉬운 문제이죠!






이번 문제는 23학년도 사관학교 공통 20번에 출제된 문제입니다! 겉으로 보기엔 낯설지만, 여기서도 위에서 얘기한 내용을 적용하면 아주 편하게 문제를 풀 수 있습니다!
이것도 문제 먼저 직접 풀어보고 풀이 보시는걸 권장드립니다.







거리는 속도의 넓이, 변위는 속도의 정적분으로 보는건 속도/가속도 단원에서 기본인 내용이죠!
그리고 s(k)-x(k)가 (가),(나) 조건에 공통으로 있으니깐 이를 하나의 함수로 인식하고 관찰하면 문제가 훨씬 쉬워집니다!
이쯤 되면 양수함수, 음수함수로 관찰하기의 메리트를 납득하실거라고 믿습니다. 


여기까지가 수2, 미적분 위주의 내용이었고 이제부턴 수열로 가보겠습니다.
수열에는 종류가 다양한데, 함수를 관찰하기 가장 좋은건 등차수열이죠! "등차수열은 정의역이 자연수인 직선이다"라는 것을 다들 아실겁니다.
그래서 등차수열도 위의 내용처럼 함수로 관찰할 수 있는 것이고 |An|-An 또는 An-|An|이 나왔을 때 이 내용을 활용하면 쉽게 관찰할 수 있죠!
아래 사진을 통해 그래프를 봐봅시다.

공차가 양수일 땐 감소하다가 0이 되고, 공차가 음수일 땐, 0이었다가 증가하는 형태인 것을 알 수 있습니다.
|An|+An은 큐붕이들이 각자 스스로 관찰해보는걸로 하고, 문제풀이로 넘어갑시다



22학년도 예비시행 공통 영역 20번 문제입니다! 문제 먼저 풀어보세요(20번 치고는 쉬운 편)



A4=0이란걸 알 수 있으니, A4를 기준으로 보면 되고, 굳이 그래프를 그리지 않아도 어디가 양수고 어디가 음수인지 알 수 있겠죠? 공차가 양수일 때와 음수일 때로 케이스 분류를 해서 문제를 풀어주면 됐습니다.



이제 진짜 마지막 문제로, 최근에 제가 큐브에서 받았던 질문 문제의 조건을 하나 따오고 기출문제를 참고해서 만든 수열 문제입니다.
이것도 별로 어렵지 않은 문제니깐 가볍게 풀어볼 수 있을거에요!















공차가 양수일 땐 Sn이 계속 커지니깐 최대가 존재하지 않고 공차가 음수일 때 최대가 존재하겠죠!
그 다음에 (나) 조건은 등차중항을 이용해서 간단하게 a10=0이란걸 뽑아낼 수 있었습니다.
이러면 A5랑 공차를 쉽게 알아낼 수 있죠!



오늘 준비한 내용은 여기까지고, 함수 f(x)-|f(x)| 또는 수열 An+|An|을 조금만 다른 관점에서 보면 문제에 정말 쉽게 접근할 수 있단걸 큐붕이들이 얻어갔으면 좋겠네요!