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[학습법] 고3 수학 10월 손풀이 및 해설

한양대학교 경영학부 김동윤 마스터
등록일 :
2024.10.18
|
조회 :
4,018
안녕하세요. 김동윤입니다.
오랜만에 인사드립니다 ㅎㅎ
엊그저께 시행된 고3 10월 학평 손풀이 및
간략한 해설입니다. 

간단한 총평은 밑에 있습니다!

바로 각설하고image

1번, 3번 실수 조심합시다.
특히 3번 같은 문제는 갑자기 틀릴 수도 있어서
웬만하면 두 번 혹은 세 번 다른 방식으로 풀어보세요.

4번이 극한 문제가 아닌 것이 약간 특이하네요.
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6번: 등비수열에서 공비가 0이거나 0인 항이 나올
확률은 0에 수렴합니다. 그래도 a3+a4가 0이 아닌 것을
보이는 것은 쉽기에 찝찝한 느낌 없이 넘어갑시다.
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8번: 살짝 흠칫하기 좋은 문제에요. 기울기m인 직선의
x절편에 따라서 계산이 달라져서요. 경험이 많은 분들은
저 이차함수를 보고 y=2x를 떠올렸을텐데, 못 떠올려도
저 직선이 원점 부근에서 어떻게 되는지가 중요하기에
y=2x를 떠올리는 게 크게 어렵지 않을 겁니다.


9번: 내분점 외분점 공식 잘 외우세요!


10번: 저 항등식은 g(x)를 정의하는 항등식입니다.
그래서 g(x)=으로 바꿔준 후 (x가 1이 아닐 때)

"x=1일 때는 독립적으로 따로 구해줘야 되는데
g(x)가 x=1에서 연속이네"

따위의 생각과 문제 조건을 통해서 f(x) 식을
쉽게 구하실 수 있습니다.

참고로, 저 항등식이 f(x)를 정의하는 항등식이었으면
"g(x)가 x=1 좌우로 음에서 양으로 부호가 바뀐다"
등이 중요했을겁니다. 올해 5월 학평 22번 문제 (가)
조건처럼요.
(사차함수 f(x)에 대해.. 절댓값g(x)=f(x)
g(x)를 정의하는 항등식이므로 f(x)가 0이상이다.
이 조건이 중요했습니다.)

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11번: 모든 항이 자연수인 것 잊지 마시고,
주어진 식을 그냥 계산하셔도 an의 공차가 bn의 공차의 2배임은 나오지만, 이 정도는 식을 보고 바로 알 수 있으면 좋겠습니다. 그 후에는 자연수 조건하에서
어떻게 계산하든 잘 풀릴 겁니다.

12번: 속도 가속도 문제는 수2 문제처럼 푸시면 됩니다.
문제 독해를 잘 하셨다면, pq위치 차 함수가 t>0에서
중근을 가지는 상황이 나와요.
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13번: 주어진 도형 상황은 굉장히 쉽습니다.
알파+베타라는 각을 조건으로 준 것을 생각하여
원주각을 적당히 표시해주면 닮은 관계 또는
할선 정리 등을 이용해 미지수 두 개 잡고
코사인 법칙 두 번 써주면 됩니다.

그런데, AE로 가능해 보이는 값이 두 개가 나오는데
선지에 없어서 아마 5번 찍고 바로 넘어가셨을겁니다.
잘하셨어요! 시험에서는 당연히 그렇게 해야해요.

어떤 삼각형에서 cos값은 sin값보다 더 중요한 정보를
줍니다. 그것은 부호를 통해 예각인지 둔각인지를
알려주는 것이지요. 그래서 각 AEB도 예각이기에
삼각형 AEB가 예각삼각형이라서
가장 긴 변의 길이의 제곱<나머지 두 변의 길이의 제곱의 합 이라는 부등식이 성립해요. 여기서 AE가 결정됩니다.


14번: 최고차항의 계수가 1인 사차함수 f(x)로 정의된
실전미가 g(x)입니다. x=1 좌우의 f(x) 식을 살펴보면
기울기 2짜리 직선에서 평행이동한 것을 알 수 있어요.
그리고 g'(0)=2, 평행이동, g(x) 미가 at x=1 등을
잘 떠올려보면 저 문제 상황이 공통접선 을 말하고 있다고
떠올리실 수 있을 거에요.
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15번: 문제가 너무 쉬워서 그냥 무지성 나열해도 됩니다.
그래도 눈에 보이는 정도만 미리 정리해두면
나열/역추적 등이 더 정확하고 빨라질 거에요.

17번: 절편에서의 접선의 기울기가 아니라 그냥
아무 점에서 접선의 기울기 구하라는 문제네요.
실수하기 좋으니까 조심하세요.

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19번: 주어진 삼각함수가 주기와 절댓값 등에 의해
꽤 난잡한 상태입니다. Box조건에 1/a 따위가
너무 짜증난다 하시는 분들은 확대/축소의 개념 또는
그냥 주기의 개념을 이용하여 sinpix+b를 보며 풀면
조금 더 마음에 안정이 생겨요. 그리고 절댓값도 복잡하니
그냥 가로 직선 두 개 긋는다로 밀고 가셔도 좋고요.
감이 좋으신 분들은 a/2와 3a/4를 보는 순간
찌릿하며 바로 캐치하셨을 것 같고요.
그게 아니더라도 (가) 조건과 a가 양수임을 이용하면
(접할 때는 (나)에 의해 불가) 쭈욱 처리 가능합니다.


☆20번: 굉장히 훌륭한 문제라 생각합니다.
우선 주어진 항등식을 그 자체로 봤을 때 보이는 것이
없으니 미분했을 것이고요. 동치로 바꾸려면
x대신에 아무거나 하나 대입했을 텐데, 왠지 3대입하고
싶으시죠? f(3)=0을 미분한 식 옆에 써줍시다.
그러면 f(x)=0 혹은 f'(x)=x²+2x 입니다.
(아마 f(x)=0 당연히 아니겠지 하신 분들은
문제 오류 아닌가..?라고 생각하셨을 것 같아요.)

여기까지는 아마 대부분 했을텐데, 여기서 못 푼 분들은
다음과 같이 하셨을 겁니다: f'(x) 식을 적분해서 f(x)를 구하고 f(3)=0 대입 후, "아 f(x)=0과 f(x)=x³/3+x²-18을 적당히 갈아타서 최대 최소 구하는 건가? 극댓값 
구해보고.. 음 못 갈아타네? 아 그러면 최댓값은
f(x)=0일 때, 최솟값은 삼차함수일 때겠네!!
계산하면 답이 207/4가 나옵니다.

잘못된 이유는 x=3부근에서 f(x)가 삼차함수라고만
생각해서입니다. 이런 생각을 안 하려면
f(x)=0 또는 f'(x)=x²+2x 여기서 
"이 두 개로 만들 수 있는 (3,0)을 지나는 함수가
미분 가능하도록 해야겠다. 이 두 개로 만들 수 있는 미분가능한 함수가 (3,0)을 지나도록 해야겠다." 따위의
문제 독해 및 상황 파악을 제대로 했어야 합니다.

이걸 떠올렸다면, (3,0) 부근에서 f(x)의 생김새가
중요하고, 미분가능성에 의해 삼차함수의 극값이 0일 때가 중요해집니다.

제가 생각하기에 22번보다 더 어려웠다고 생각해요.
한 번 안 보이고는 "뭐임?? 도대체 뭐임?? 문제 오류!"
하기 너무 좋아요. 20번 문제뿐만 아니라 11번 문제에서도 이런식으로 (한 번 안 보이면 계속 안 보이는) 될 수 있으니까 한 5분 정도 고민하다가 일단 넘어갔어야 해요. 

참고로))
x=3 좌우에서 f(x)=0에서 삼차함수로 갈아타는 경우는
앞에서 문제를 이해하며 거친 시행 착오 등에서
자연스럽게 걸러질 것이라 생각합니다.
(미분가능성에 모순)
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21번: x<2일 때, 유리함수의 점근선과 x=2에서의 좌극한값이 중요한 것을 알 수 있어요. 즉 a가 4보다 크거나 같거나 작은지가 중요해요. 이 생각 후 box 조건을 만족
시키려면 x>=2에서 저 절댓값 로그함수 그래프가
어떻게 생겨야 하는지를 잘 고민하시다 보면
푸실 수 있을 겁니다. 왜 a=7일 때가 최소인지
잘 고민해보시길 바랍니다.

22번: 꽤나 쉬운 22번이었습니다.
g(x)의 정의를 보시면, f(x) 그래프가 x축과
어떻게 만나며 부호가 유지되는지.. 변하는지 등이
중요함을 알 수 있어요. 그래서 적당히 경우를 나눠보며
"이럴 때 여기서 g(x)가 연속일 조건은 뭐지?
부드러울 조건은 뭐지? 불연속이면 당연히 미분 불가네"
등을 계산하고 생각하면, f(x)의 그래프와 y=x의 교점과
그 점에서의 f(x)의 미분계수가 1인지 아닌지가 중요함을
알 수 있어요. 그리고 f(x)가 (-2,-2), 즉 y=x 위의 점을
지나는 것까지 고려한 후, 적당한 시행착오를 겪으면
f(x)로 가능한 식이 두 개가 나오는데, 원점에서 접선의
기울기가 1이 아니어야 (나) 조건을 만족해서
이것까지 고려하면 결정됩니다.
(cf. 미분가능하면 연속이므로 불연속이면 미분 불가능)
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24번: 삼각함수들은 적분할 때 부호 조심하시어요.
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28번: 선택 미적분에서 가장 어려웠던 문제입니다.
굉장히 마이너한 느낌의 문제라 틀린 분들은 수능도 
아니고 좋은 경험 하신거에요. 

아마 그래프부터 그린 후에, cosam=2pi/am
쓰시고, 문제에서 원하는 극한식을 보셨을겁니다.
시그마와 k등을 보시고 "아, 저거 지금 급수를 정적분으로 적당히 바꾸라는 거구나" 까지는 하셨을텐데
계산이 잘 안 보이고 어쩌라는 거지 싶었을 겁니다.

올해 6평 30번과 비슷하게
저런 문제는 일단 눈에 보이는 조건들을 
써보기도 하고, 주어진 극한식의 생김새 등을
관찰해가며 어떤 조건이 필요할지 등을 잘 생각해야 해요.
저는 먼저, n이 무한대로 갈 때 an이 홀짝성에 따라서
어떤 값으로 가고, 차이가 몇이다 등이 먼저 보여서
써봤는데, 주어진 극한 계산하는 데 별 도움이 안 돼보였습니다. n을 짝홀로 나눠도 n+k등이 있어 이게 아닌 것 같았어요. 그리고 나서 추가적으로 가능한 조건 뭐있지
생각하다가 부등식을 쓰고 느낌이 왔습니다.
(6평 30번 이후 비슷한 문제를 푸신 분들은 아마
부등식부터 쓰셨을 수도 있을 것 같아요. 그것도 좋아요)
이 부등식은 홀짝성 따위에 상관 없어서 계산이
가능해보였어요. 그 후에 cos²이거는 답이 없어보이니
유리함수식으로 바꿔주고 부등식을 조작하면
"왠지 샌드위치인가??" 하는 생각과 함께
오른쪽 부등식에서 꽤 이뻐보이는 식이 눈에 들어와요.
시그마와 리미트를 취하면 계산이 가능합니다.
2가 나와요. 여기서
좌변의 식도 우변의 식과 같은 값으로 수렴하겠지~
하고 바로 2번 쓰셔도 잘했어요. 당연히 수렴해야
문제가 말이 될테니까요! 그리고 수렴하는 것도 어렵지
않게 보일 수 있어요. 시그마 안의 값이 복잡하지만
이 시그마가 k에 대한 시그마임을 알면 한 칸차가 나는 것이 보이며 교대 급수로 쭈욱 정리됩니다.
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29번: 문제 상황을 그림으로 표현하고
계산만 잘했다면 정말 쉽게 풀 수 있는 문제였습니다.

30번: 역대 가장 쉬운 30번입니다.
(가) 조건을 제대로 해석했다면 f(x)가 x=0에서
변곡점을 가져야하고, (나) 조건에서 a,b 관계식 나와서
바로 풀리는 문제입니다.
f(x)가 원점을 지나는데, 어떻게 지나는지에 따라
f(x)를 그려보면 바로 원점에서 기울기가 음수인 
변곡접선임을 아실 수 있어요.

참고로, t의 개수가 1인 것만으로 f'(x)가 0에서 극값을
가진다고는 못합니다. 조건이 어떻게 맞아떨어지면
증가?감소만 하는 이차×지수함수 꼴이 도함수일수도
있으니까요. f(x)가 일반적인 지수×이차가 아니라
원점을 지나는 이차×지수인 것이 크리티컬했습니다.



여기까지 해설이었습니다.


간단하게 총평을 해보자면,

공통 객관식은 굉장히 쉬웠습니다. 
다만, 8번에서 많이들 당황했을 것 같습니다.
또, 14번이 한 번 안 보이면 끝까지 안 보였을 수도
있을 것 같아요.

공통 주관식은 특이하게 어려운 편이었습니다.
19번에서 꽤나 절었을 수 있고,
특히 20번이 저는 22번보다도 어려울 수 있을
것 같다 생각합니다. 이게 한 번 안 보이면 문제 오류아닌가부터해서 계산이 잘못된건가 하다보면 시간은 시간대로 잡아 먹고 답도 안 나와요. 21번과 22번은 무난하거나
쉬운 편이었던 것 같습니다. 22번은 x축과 어떻게 만나는지만 잘 생각하면 잘들 맞추셨을 거에요.

선택 객관식은 전반적으로 쉬웠는데 28번이
킬러급이었다 생각합니다. 아무래도 계산의 영역이니
발상적이라고 여길 수 있는 부분도 많고, 시험장에서
한 번 안 보이면 끝까지 안 보여서 28번에 이런 게 있고
막히면 바로 넘어가야 해요.

선택 주관식은 매우 쉬웠습니다.
만약에 28번을 붙잡느라 29번 30번을 못 풀었다면
정말 아쉽고 속상할 것 같아요. 


문항 난이도 배치가 특이했습니다. 22번 30번이
공통과 선택과목에서 가장 어렵지 않아서
평소에 22, 30은 쳐다도보지 않는 분은 평소보다
점수가 더 낮게 나왔을 것 같아요.
(20번과 28번 때문에)
올해 9평이 쉬워서 수능은 어려울 거다, 아니다
그래도 쉬울 거다 등등 온갖 노이즈들이 많은데
그런거 신경쓰지 마시고, 특히 수학은 문항 넘버에
선입견을 가지시면 절대절대 안됩니다. 

이번 시험의 최대 교훈은 
"모든 문제를 빠짐없이 읽고 도전하자"
인 것 같습니다.

남은 기간 잘 마무리하셔서 좋은 결과 있기를
바라겠습니다!! 몸 관리 잘하시구요 ????
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