안녕하십니까, 목표달성장학생 20기 경찰대학 1학년 임정언 학생입니다.

이번에는 경찰대 시험의 마지막 3교시에 치는 수학 영역을 다뤄보겠습니다. 23학년도 대비 24학년도에 약간 난이도가 쉬워지긴 했지만, 여전히 난이도가 많이 어려운 분야입니다. 특히 수능에는 없는 5점 문항의 난이도가 많이 어렵기 때문에, 대부분 학생들이 난항을 겪습니다.

하지만 수학은 국어, 영어와 다르게 문항이 난이도 순으로, 점수 순으로 배치되어 있기 때문에 풀 수 있는 문제와 없는 문제의 판단이 훨씬 수월하다는 장점이 있습니다. 그만큼 시험장에서 번호나 분위기에 휩쓸리지 않고 본인의 페이스를 일정하게 유지하는 게 중요하다는 뜻이기도 합니다.

★ 안내 말씀

등록하는 과정에서 문제의 수식이 전부 깨지는 현상이 발생했습니다. 빈칸 또는 그림 표시로 나온 것은 모두 깨진 수식입니다. 메가스터디 자체 편집기로는 수식을 넣을 방법이 없어, 부득이하게 수학 문제지를 첨부파일로 함께 등록하게 되었습니다. 깨진 수식의 부분은 문제지 첨부파일을 통해 확인해주시면 감사하겠습니다.

문제와 칼럼을 읽는 데 불편을 드려 죄송합니다.

1. 잘 모르겠으면 “해보자! 써보자!”

현우진 선생님의 강좌를 듣다보면 많이 들을 수 있는 말이 있습니다.

“해보자! 써보자!”

경찰대학의 5점 문항도 마찬가지인 것 같습니다. 한 두 문제를 제외하고는 시간을 많이 잡아먹는 문제들로 구성되어 있습니다. 보통이라면 1문제를 제대로 건드릴 시간조차 없습니다. 슬프게도 저 역시 후술할 특정 문제에서 시간을 많이 허비해서, 실제 시험장에서 객관식 5점 문항 4문항 중 3문항을 가장 안 나온 번호로 한 줄로 밀었습니다. 동기들 중 수학 과목에서 고득점을 받은 친구들에게 그 비법을 물어보았습니다. 시험지를 본인 실력으로 시간 안에 전부 푸는 학생들은 크게 2가지의 경우인 것 같습니다.

1) 3-4점 문항에서 한 번에 문제의 유형을 파악하여 막히지 않고 문제를 풀어 5점 문제를 충분히 고민할 시간을 확보했을 때

2) 수학적 감각으로 5점 문항에서 다양한 케이스들을 모두 체크하지 않고 한번에 답인 상황으로 들어갔을 때

하지만 2번의 경우는 재능, 또는 무한한 노력이 뒷받침되어야 가능한 것 같습니다. 시험이 일주일 남은 현재 시점에서 감각을 기르기란 쉽지 않기에, 1번을 최대한 빠르게 하여 어려운 문항들을 풀 시간을 확보하는 것이 지금 입장에선 더 나은 전략 같아 보입니다.

하지만 문항을 풀다보면 생소한 문항들이 보일 수밖에 없습니다. 이때 가장 도움이 되었던 것은 생소한 구절이 나와도 당황하지 않고 내가 아는 것과 연계해서 유형을 추론하는 것이었습니다. 처음 보는 것 같아도 결론적으로 풀다보면 “아, 수능 00년도 기출에서 보이던 00 유형이구나”가 떠오르더라고요.

24학년도 기출은 쉽다는 평이 어느 정도 있어서, 난이도가 좀 더 있는 23학년도 기출 위주로 가져와 보았습니다.

23학년도 16번

좌표평면에 네 점 A(0, 0), B(1, 0), C(1, 1), D(0, 1)이 있다. 자연수 n에 대하여 집합 은 다음 조건을 만족시키는 모든 점 (a, b)를 원소로 하는 집합이다.

(가) 점 (a, b)는 정사각형 ABCD의 내부에 있다.

(나) 정사각형 ABCD의 변위를 움직이는 점 P와 점 (a, b) 사이의 거리의 최솟값은 이다.

(다) 이고, 인 자연수 k, m이 존재한다.

집합 의 원소의 개수를 이라 할 때, 의 값은?

-------------- 스포방지선 -----------------

문제를 가만히 읽다가 ‘거리의 최솟값’에서 멈칫 했습니다. 어떻게 하면 정사각형과 점 사이의 “거리”를 구할 수 있을까요? 처음 보는 문제인 것 같지만, 마지막에 을 보면 안도의 한숨이 나옵니다. 거리라는 함정으로 혼란스럽게 할뿐, 실상은 수열의 합을 묻는 익숙한 기출입니다. n이 1부터 10일 때까지를 전부 구해야 합니다. 그렇다면 아마 은 n에 대한 식으로 나타낼 수 있는, 규칙성 있는 수의 배열일 것입니다. 그럼 n을 1부터 하나씩 넣어보면서 조건에 맞는 답의 개수를 세어나가면, 10까지 가지 않더라도 규칙성을 찾을 수 있습니다.

그렇다면 답의 개수를 어떻게 셀 수 있을까요? n이 1과 2처럼 작은 숫자일 때는 직접 그림을 그려보면 답을 알 수 있습니다. 문제에 그래프가 필요하다는 직접적인 암시는 없지만, 필요하다면 적극적으로 그래프를 동원하는 것이 경찰대 문제의 가장 큰 특징 중 하나인 것 같습니다.

23학년도 20번

곡선 위의 제1사분면에 있는 점 A에서의 점선의 기울기가 8이다. 점 (0,2)를 중심으로 하는 원 S가 있다. 두 점 B(0, 4)와 원 S 위의 점 X에 대하여 두 직선 OA와 BX가 이루는 예각의 크기를 θ라 할 때, 의 최댓값이 가 되도록 하는 원 S의 반지름의 길이는?(단, O는 원점이다)

-------------- 스포방지선 -----------------

23학년도 객관식 마지막 5점 문제입니다. 역시 를 보고 혼란스러울 수 있지만, 선분 곱하기 사인값인데다가 예각이라는 조건까지 주어졌다면 사인=높이/빗변의 활용을 의심할 수 있어야 합니다. 전부 수능 영역에서 출제되는 유형이지만, 수능과 달리 어떤 도구가 어느 파트에서 활용되어야 할지를 뚜렷하게 알려주지 않습니다. 그렇기 때문에 경찰대 기출은 잘 나가다 어느 한 지점에서 더 이상 문제를 풀어나갈 단서를 찾지 못하고 꽉 막혀서 방황하는 경우가 자주 발생하는 것 같습니다. 이럴 때는 아직 사용하지 않은 조건 중에서 “수능이라면 어떤 문제로 나왔을까?”를 생각하고 문제로 들어가는 것이 중요할 것 같습니다.

2. 복잡함을 받아들이기

수능에서는 너무 복잡하면 “설마?”라는 생각으로 다시 풀이과정을 돌아보는 경우가 많습니다. 하지만 경찰대 기출에서는 계산식 등의 복잡함이 설마가 아니라 진짜일 가능성이 매우 높습니다. 앞서는 접근에서 문제를 겪는 경우를 살펴보았다면, 이번에는 계산에서 문제를 겪는 경우입니다. 계산력은 정말 타고난 머리와 공부량의 누적이 조화가 이루어지는 영역이기 때문에, 경찰대 시험이 일주일 남은 시점에서 단기간에 실력 향상을 꾀하기는 어렵습니다. 그렇기 때문에 만약 본인의 계산력이 부족하다면, 굉장히 복잡한 계산 또는 케이스 분류를 눈앞에 마주했을 때 빠르게 남은 시간과 문제, 해당 문제에 투자해야 하는 시간의 견적을 확인해 패스하는 것도 좋은 방법입니다. 문제가 너무 복잡하면 자신이 잘못 풀고 있는 줄 알고 혹시 빠른 전략을 놓친게 있나 싶어서 하던 풀이를 멈추고 다시 문제를 뜯어보는 학생들도 종종 있습니다. 그런데 보통 일부러 접근을 어렵게 한 5점 문제를 제외하고, 풀이과정이 직관적이고 수능에서 종종 본 것 같은 유형의 문제들은 본인의 첫 번째 접근이 맞는 접근인 경우가 많습니다. 이걸 보면 경찰대 시험의 또다른 특징 중 하나가 (특히 수Ⅱ에서) 정형화된 단원의 정형화된 소재들이 30번, 15번으로 등장하는 수능과 달리, 다양한 단원에서 고난도 문항이 골고루 출제되며, 단원이 쉬워도 시중 문제집을 펼치면 각 단원별로 맨마지막에 붙어 있는 ‘경시대회 문제’ ‘최고난도 문제’ 마냥 계산을 어렵게 가져가서 쉬운 소재의 변별력을 확보한다는 것입니다. 수능에 잘 나오지 않아서 잘 인지하지 못하는 경우가 많지만, 그동안의 수학 문제집의 모든 단원에는 빠짐없이 ‘킬러 문항’이 있었습니다. 수능은 2~3점 문제로 주로 출제되는 유형이 있다 보니 한번 앞에서 나온 소재를 2번 활용하는 경우가 별로 없어 쉬운 단원에서 계속 쉬운 문항만 나오지만, 경찰대 시험은 그렇지 않다는 것을 유의해주셨으면 좋겠습니다.

수능 기출로는 대비하기 어려운 쉬운 단원에서의 고난도 문제는 그러한 시중 문제집에서 각 단원별 경시대회 문제나 최고난도 문제를 발췌해 대비해보는 것을 추천 드립니다. 저 역시도 경찰대 시험 전 수능 기출 문제집에 단원별로 딸려 있는 최고난도 문제들을 다시 풀어보면서 5점 문항에 대비했던 것으로 기억합니다.

복잡한 계산을 끝까지 끈기 있게, 그리고 신속하게 풀어내는 것은 아래 문제를 추천 드립니다.

23학년도 18번

함수 에 대하여 함수 를 라 할 때, 함수 의 최솟값은?

3. 앞부분에서의 걸림돌에 주의하기, 걸리면 지체 없이 넘어가기

수능은 1문제라도 넘어가면 1등급이 위태로워질 수 있을 정도로 치명적입니다. 하지만 경찰대 시험은 1문제 정도 틀리는 것은 아무렇지 않습니다. 어차피 내가 어려우면 남들도 어렵기 때문입니다. 저희 기수 내에서도 수학 90점대인 친구들은 손에 꼽을 정도로 적습니다. 그래서 정말 앞 부분에서 막히더라도 당황하지 않고 넘어가야 합니다.

작년에 시험이 끝나고 나오는 길에 느꼈던, 가장 화제가 되었던 문항은 다른 것도 아니고 아래의 “3번” 문항이었던 것 같습니다. 네, 보시다시피 무려 “3점” 문항이었습니다. 다른 4, 5점 문항만큼 많이 복잡한 것은 아니었지만, 보통 거저 준다는 인식이 있는 3번 문항이 이 정도 난이도로 출제되었다는 사실에 상당히 혼란했었던 기억이 납니다.

24학년도 3번

<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [3점]

ㄱ. 함수 의 주기는 2이다.

ㄴ. 함수 의 주기는 3이다.

ㄷ. 함수 의 주기는 2이다.

-------------- 스포방지선 -----------------

어느 요소가 주기에 영향을 주는 요소이며, 어느 요소가 주기에 영향을 주지 않는 요소인지도 개념적으로 정확하게 알았어야 하며, 익숙한 절댓값이나 다소 생소한 의 곱셈 형태의 주기 찾기도 학생들에게 적지 않은 당혹스러움을 선사했습니다. 그냥 와 의 주기를 각각 따로 찾고 두 주기가 서로 겹치는 부분을 주기의 출발점으로 하면 되었지만, 만약 아무리 봐도 감을 전혀 못 잡겠다면 문항 번호나 배점에 상관없이 즉각적으로 넘어가셔야 합니다. 안 풀리는 한 문제 때문에 풀 수 있는 세 문제를 놓치면 안되니까요.

원래는 시험장 썰 칼럼과 수학 칼럼을 함께 올리려고 했다가, 썰이 약간 길어져 단독 칼럼으로 따로 다룹니다. 이어지는 내용은 함께 올라가는 다음 칼럼을 확인해주세요!

★ 지난 칼럼

[경찰대 1차시험 특강1 - 0교시 개괄편]

https://www.megastudy.net/campaign/study/snote_view.asp?idx=1108859&mOne=study3&mTwo=&mento_cd=&page=1&skey02=&sword=%B0%E6%C2%FB%B4%EB&ord=1

[경찰대 1차시험 특강2 - 1교시 국어 비문학편]

https://www.megastudy.net/campaign/study/snote_view.asp?idx=1108889&mOne=study3&mTwo=&mento_cd=&page=1&skey02=&sword=&ord=1

[경찰대 1차시험 특강3 – 1교시 국어 문학편]

https://www.megastudy.net/campaign/study/snote_view.asp?idx=1108890&mOne=study3&mTwo=&mento_cd=&page=1&skey02=&sword=&ord=1

[경찰대 1차시험 특강4 – 2교시 영어편]

https://www.megastudy.net/campaign/study/snote_view.asp?idx=1108893&mOne=study3&mTwo=&mento_cd=&page=1&skey02=&sword=&ord=1